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简介: 目标定位: 1.函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范,也是学习数学和研究数学的范例.学习“函数概念与基本初等函数I”(下面简称“函数” )这一章,从观念上认识“函数” ,它是“语言、
目标定位: 1.函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范,也是学习数学和研究数学的范例.学习“函数概念与基本初等函数I”(下面简称“函数” )这一章,从观念上认识“函数” ,它是“语言、工具、应用”.它挑起了“万水千山”(整个高中数学),贯通了数学世界,迎接着广泛的实际问题.认识函数,就是认识它是解决许多实际问题的基本模型;认识函数,在于研究它的性质;认识函数,应明了它的根本价值在于应用,并揭示了它的“生长性”即如许许多多对数据都统一于一个函数式. 2.本章具体的教学目标是: (1)了解函数概念产生的背景,理解函数的概念,了解构成函数的要素(定义域、值域、对应法则),会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念. (2)理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法),会选择恰当的方法表示简单情境中的函数. (3)了解简单的分段函数,能写出简单情境中的分段函数,并能求出给定自变量所对应的函数值,会画函数的图象. (4)理解函数的单调性及其几何意义,会判断一些简单函数的单调性;理解函数最大(小)值的概念及其几何意义;了解函数奇偶性的含义. (5)会运用函数图象理解和研究函数的性质.6)能借助函数的知识表述、刻画事物的变化规律.7)培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力.8)体验数学的文化价值,使学生感受数学的美,培养学生利用运动变化的观点观察事物,进一步树立科学的人生观、价值观和辩证唯物主义世界观. 教材解读: 我们生活的世界时刻都在发生变化,变化无处不在.这些变化着的现象都可以用数学有效地描述它们的变化规律.函数正是描述客观世界变化规律的重要数学模型,通过函数模型可以帮助我们科学地预测将发生什么,进而解决实际问题.因此,学习函数知识对研究客观世界、掌握事物变化规律具有重要的意义. 1.本章立足于现实生活,从具体问题入手,以问题为背景,按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序结构,引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括,数学地提出、分析和解决问题.运用集合的观点,理解函数的概念,研究函数的性质,最后利用函数的知识和思想解决相关问题,体会函数与方程的有机联系.通过函数知识的学习,使学生进一步感受函数是探索自然现象、社会现象基本规律的工具和语言,学会用函数的思想、变化的观点分析问题、解决问题,达到培养学生的创新思维的目的. 2.本章涉及的数学思想方法又可分为两个层次:一是一般科学方法,如观察、实验、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等;二是数学中常用的数学思想方法,如函数与方程、数形结合、符号化与形式化、分类讨论、化归等思想方法. 3.函数是中学数学中的一个重要概念,函数是高中数学的基础.学生学习函数的知识分四个阶段.第一个阶段是在初中,学生已经接受了初步的函数知识,掌握了一些简单函数的表示法、性质、图象;本章和后面第3章是第二个阶段(数学1); 第三个阶段将学习三角函数(数学4)、数列(数学5);第四个阶段在选修课程中,如导数及其应用、概率(选修系列2)、参数方程(选修系列4)等都仍然要涉及函数知识的再认识,是对函数及其应用研究的深化和提高. 与人教版不同的是图象在函数的概念中出现,其理由是利于整体上、本质上表现函数概念;为函数表示法的展开而“水到渠成”,恰是数形的统一体现. 4.为了使学生了解函数概念产生的背景,丰富函数的感性认识,获得认识客观世界的体验,本章采用“突出主题,螺旋上升,反复应用”的方式,以实际问题为主线,由浅入深,将函数的知识串联起来,既完善了知识体系完整性、系统性,又体现了知识之间的有机联系和一以贯之的研究手段. 带学习者进入本章、节学习的是,学习者熟悉的社会生活中的问题,或者是刚刚所学问题的引申,或者是思想方法的运用.例如,基本初等函数Ⅰ的处理:开始给出三个背景例子(人口统计表,自由落体运动公式,温度曲线图).通过对这三个例子的共同特征的分析,引出函数概念.进而利用这三个例子,研究函数的三种表示法,函数的性质.此后,给出函数的应用,指数函数、对数函数等.在你们获得函数的一般研究方法后,又回到开头所提出的问题中,建立模型解决问题,整个内容一气呵成.其主线是函数概念与性质,而入口是学习者非常熟悉的情景.简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法,它们引出了函数的整个内容与研究方法.学习者在这三个例子的反复学习中,不仅对函数概念与性质的理解不断加深,而且获得数学研究的一般方法:背景—→数学—→应用. 5.本章结构仍按第一章的六步形式设计编写,仍以“问题串”的方式,逐层展开.本章的主背景统领全章,注重知识的生长点. 6.教科书创设问题情境,为学者活动提供空间.例如,函数概念,学生通过人口统计、自由落体运动规律、一天内气温变化图等熟悉的实例的分析归纳,从中认识函数的本质特征:对于数集A中每个“输入值”,按某种法则f,惟一地对应着数集B中的一个“输出值”.再一,教材充分考虑学习者的认知起点与数学的逻辑起点的有机协调,利于他们主动参与学习. 7.教材中关于探究则以不同形式、不同层次出现.正文、思考、旁白、探究、阅读、探究性习题、探究性课题学习等,从小到大,从示范到案例,再到一般探究都作了整体设计,旨在引导你们去探究、注重过程、合作交流.例如,在“函数”中,以“阅读”的形式,介绍Excel作函数图象的方法,指出自变量的值用“等差趋势填充”生成,对应的函数值利用Excel的相对引用功能“拖曳” 产生.操作省时省力,图象清楚、美观.学会利用 Excel,则有助于建立你的探索意识和增强理解力. 8.本章函数内容的展开,是按照数学研究的一般程序进行的(如图). 教学方法与教学建议: 1.教学中要注意展现类比联想、观察验证、推理证明的过程.注意充分运用数形结合、图表、现代教育辅助技术等方法,引领与推进学生学习函数内容的有效进程. 2.建议顺着教材中的问题串以及“思考”等引导语,胸怀“性质”(如定义域、值域,有界性,单调性,奇偶性,周期性, 图象等)这面镜子,遇上不同的函数(如指数函数、对数函数和幂函数),拿出这面“照妖”镜,逐一照着、认识着、丰富着.这其中学会数形结合、分类转化的思想和认识问题的一般科学方法.同时,也熟练了反证法和例证法(即若说明一个问题不成立,则举一例说明之).最终明白函数的模型性,即利用不同的函数模型去恰当地处理实际问题,并通过恰当的模型来预估问题所可能的变化趋势.亦即认识学习“函数”的的确确在于用. 3.本章内容可以分为两条线索展开,其一为抽象的数学研究,这里主要研究的对象是符号y=f (x)(如定义域、值域、图象、单调性等),其二为具体的实例研究,初中学的等函数,以及第3章将要研究的函数等.教师应清楚这两条线索交替并行的关系,同时要对初中所学内容进行回顾与提升,如初、高中函数概念的建立有怎样的区别与联系. 4.在函数的定义教学时,需突出以下几点:(1)集合A与集合B都是非空数集;(2)对应法则的方向是从A到B;(3)强调“非空”、“每一个”、“惟一”这三个关键词.用输入与输出来揭示函数概念,在实际情境中了解图象法是描述两个变量之间函数关系的一种重要方法. 5.以前的教材是用映射来定义函数,而新教材则把映射看成是函数概念的推广.后者的处理方法更符合学生的认知规律,而且和初中内容的衔接也比较自然.新教材对映射的要求是:了解映射的概念,会借助图形帮助理解映射的概念,并了解函数是两个非空数集之间的映射.因此,教学时应先从学生熟悉的对应入手,选择生活中和数学中的“一对多”、“多对多”、“多对一”、“一对一”的对应实例,通过图示,引导学生观察比较,逐步归纳概括出映射的基本特征,辨析映射和函数的关系.需要特别指出的是,新教材中,没有涉及到象和原象的概念,更没有映射的分类,不要拓宽和加深. 6.为了说明函数f(x)在某个区间上不是单调增(减)函数,只需在该区间上,找到两个值x1,x2,当x1<x2时,有f(x1)≥f(x2)(或f(x1)≤f(x2) )成立,这是对例证法的把握.从形、数两个角度探索,理解函数图象的对称性与函数奇偶性的关系.函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它反映的是函数的局部性质,函数在某个区间上单调,并不能说明函数在定义域上也单调. 7.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法,会根据条件借助现代计算工具解决一些简单的实际问题.教材把数据拟合列为链接内容,有条件的学校可以选择使用.本节内容主要通过实际问题说明数据拟合在预测、规划方面的应用,提高学生运用数学的能力.常见的数据拟合有:直线型、抛物线、指数型、对数型.教学时,应通过结合实例让学生体会不同函数类型增长的意义,并且让学生尝试利用Excel进行数据拟合,理解并体会利用Excel进行数据拟合的步骤:输入数据、作散点图、观察散点趋势、选择合适的模型、添加相应的趋势线、计算R2值、根据R2值对选择的模型进行调整.在选修教材中,还会系统学习直线型数据拟合——线性回归. 8.形式化、符号化,是数学的重要特征,如所有的函数关系都可以用y=f(x)这个等式来表示,不仅简单,而且也可加深对函数概念本质的理解.又如在说明单调增函数时,符号语言“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”是对自然语言“随着x的增大,f(x)也增大”的精确刻画.这样,学生在说明函数的单调性时,就有了一个形式化的模式,便于书写说明.教学时应将这两种描述方式进行对比,使学生体会到使用符号语言的优点和美感,养成运用符号语言的习惯. 9.数学的发展引起了计算工具的改革和进步,反过来,计算工具的广泛应用,又促进了数学的发展.为了帮助学生体会函数是刻画现实世界中变量之间依赖关系的数学模型,充分利用现代信息技术体现数学的应用功能,教学中,教师应有意识地利用适当的信息技术辅助教学. 10.在教学过程中,应突出本章的核心——函数,其本质是两个变量之间的相互依赖关系,体现函数对应法则的“输入、输出”功能,函数的性质只是对应法则在函数定义域上的表现,离开了函数的定义域谈函数的性质是没有意义的.应重视问题提出的背景,充分发挥这些问题的载体作用,体现它们的数学价值. 总之,通过本章的学习,逐步培养学生的数学思维,养成准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程的习惯,形成、提高数学表达和交流的能力,逐步地发展独立获取数学知识的能力,发展数学应用意识和创新意识,提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度,进一步拓宽学生的数学视野,逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值,形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神.

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