高一数学指数函数、对数函数和幂函数教学分析案

目标定位： 1．指数函数、对数函数、幂函数是与现实世界的密切联系的函数模型，是体验函数模型运用过程和方法的重要载体．通过学习，进一步体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系． 在学习基本初等函数I及其应用的过程中，要通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质，了解并掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质；知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型． 通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力． 2．本章具体的教学目标是： （1）了解指数函数模型的实际背景． （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． （5）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用． （6）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． （7）通过实例，了解幂函数的概念；通过y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝这几个具体函数的图象的变化情况，了解幂函数图象的变化情况． （8）通过实例，了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具． 教材解读： 1．教材在系统阐述函数的概念、图象、性质的基础上，以实际问题为背景，引出了特殊的函数关系——基本初等函数I：从现实问题、相关学科中的具体问题出发，指出了分数指数幂的概念，体会了无理指数幂的意义，进而概括出指数函数；在指数函数的基础上，通过具体情境，引出对数的概念，体会了对数的意义，进而概括出对数函数；结合具体问题，引出了幂函数的概念．在研究基本初等函数I图象的基础上，通过观察，得出函数的性质．从指数、指数函数到对数、对数函数，是一种相似．从指数函数到幂函数，是另一种相似． 在知识的呈现方式上，并没有过度强调理性推导．基本初等函数I的性质都是通过图象直观感知的，自始至终紧扣“图象——性质”这一条主线，从作函数的图象开始，通过对函数图象的观察，得出函数的性质．这一研究方法，在以后的学习中经常用到，有利于激发学生开展学习活动，结合观察、思考、归纳、抽象、概括、运用等方法，对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断，在体现数学理性精神同时，注意适度的形式化． 在知识结构上，一以贯之地围绕核心问题，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序，不断通过对问题串的探究学习，引导学生从不同的角度，用自相似的研究方式，对核心问题进行多重研究．在体现基本初等函数工具性作用时，突出了理性分析和严格的推理过程．求方程的近似解，是函数知识、思想、方法的具体应用，目的是体会函数与方程的有机联系，达到培养创新思维和理性思维的目的． 教学方法与教学建议： 1．基本初等函数I是学生在初中以正比例、反比例、二次函数为载体感知函数的初步知识，体会函数的图象和性质，在高中系统学习以集合理论为基础的函数基本知识后，学习函数的第三个阶段——继续研究特殊类型的函数．在后续的学习中，还会学习离散型函数（数列）、周期性函数（三角函数）等特殊类型的函数，在学习导数及其应用、概率、圆锥曲线、参数方程等知识块时，还要涉及函数知识的再认识，因此，基本初等函数I的知识只是学习函数过程中的一个中间环节． 2．教材中提供的实际问题，既可以作为知识（方法）的背景，又是激发学生探究性思维的问题情境，是新知识的生长点．因此，本章知识体系的构建应以这些实际问题的研究为基础，在分析、解决问题的过程中建立相关的函数模型，感受函数的基本思想． 3．根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，应讲清、讲透．学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，进一步探究了分数指数幂及其运算性质，通过一个实例介绍有理指数幂逼近无理指数幂，从而将指数的范围扩充到实数． 4．教学中要充分体现这三种函数不同的函数增长模型，要突出它们的背景和应用，重点研究指数函数、对数函数． （1）指数函数是高中新引进的第一个基本初等函数，因此，教科书先给出了指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立、指数函数图象的绘制、指数函数的基本性质的发现与指数函数的初步应用，作了完整的介绍．指数函数是本章的重点内容之一． （2）教材是以具体问题为背景，是从指数运算与对数运算的互逆关系出发，引进了对数的概念，进而建立了对数函数的概念，为学生发现与论证对数的运算性质、研究对数函数的性质提供了方便． （3）幂函数是实际问题中常见的一类函数模型，教材从对5个特殊的幂函数的图象观察，归纳出幂函数的基本性质． 5．几个注意点： （1）指数函数、对数函数、幂函数是形式化的定义，不要过分强调这种形式化，要求学生判断一些函数是不是某类函数，如“y＝22x是不是指数函数”等，其实，一个函数是不是指数函数（对数函数），与底数是有关系的，如“y＝22x不是以2为底的指数函数，但它是以4为底的指数函数”． （2）指数函数、对数函数、幂函数的图象是它们性质的直观体现，对了解和掌握函数的性质具有形象、生动的优势，应教会学生画、观察这些函数的图象，有意识通过函数的图象的直观性来寻找解决问题的方法． （3）关于“反函数”的概念，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，只要说明“对于某个常数a（a＞0，a≠1），指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数”，即“两个底数相同的指数函数与对数函数互为反函数”．对一般的反函数概念不作要求．互为反函数的两个函数的图象间关于直线y＝x对称的性质，只通过具体函数来讨论． （4）幂函数y＝xn只限于研究n＝－1，1，2，3，时，几个具体函数图象的变化情况和性质． （5）教材中留有许多思考和旁白，没有做过多的研究，对一些问题的解决过程也没有作详细的阐述，旨在为学生的合理探索留下了空间，为学有余力的学生提供继续发展的平台．在教学过程中，可以根据实际情况，适当地让学生进行探索、交流、合作、比较．通过指数函数、对数函数的相似性研究和整体化处理，达到螺旋式上升的目的． （6）“二分法”是求方程近似解的一种常见方法，教学时应注意：重在对原理的认识，会用函数的知识、方法结合函数的图象判断方程的解所在的范围，能进行初步的估算，在精度上不要对学生提出要求． （7）函数模型的教学应立足于用待定系数法确定函数的模型的简单问题，不要在难度、复杂背景上给学生设置障碍．有关数据拟合的问题，在后面学习线性回归时还将涉及，在此不要求学生处理． （8）教学过程中，应关注函数的背景、应用、整体性、思想性，从内容的结构上按照“指数函数→对数函数→幂函数→函数与方程→函数模型及其应用”的顺序呈现，每一个单元都以函数的概念和图象为主线，按照“问题情景→函数概念→函数表示→函数性质→函数应用”的方式展开，以问题串的形式，逐层展开．函数的特性、主背景贯通全章．