脱鞋穿鞋问题

脱鞋穿鞋问题：这是一个湖的平面图。图中的曲线都是湖岸。请你想一想：一、要是P 点在岸上，那A 点是在岸上还是在水中？二、有人经过这个湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋。要是有一点B，这个人从A 点走到B 点时，他脱鞋次数与穿鞋次数的和是奇数，那B 点是在岸上还是在水中？

一琢磨，每通过一次湖岸线，人不是从岸上走到水里，就是从水里走到岸上。这样，我们便得到：通过奇数次湖岸线时，人从岸上走到水里，或者从水里走到岸上；通过偶数次湖岸线时，人从岸上走到岸上，或者从水里走到水里。现在，从P 到A 需要通过五次湖岸线，P 在岸上，所以A 在水中。

同理，可以知道B 点在岸上。

这个题就难一点了。如图，能不能不重复，三笔把它画好？答案是不能。为什么呢？

图中有八个顶点，每个顶点有三条线，这种有奇数条线的顶点，称为奇顶点。要是顶点有偶数条线，称为偶顶点。

凡是能一笔画成的图，除去首尾两个点外，其余的中间点，例如下图中的A 点和B 点，都必须是偶顶点。

因为每有一条进入A 点或者B 点的线，就必须有一条从A 点或者B 点发出的线才行。这样，凡是一笔能画成的图，至多只能有两个奇顶点；凡是能两笔画成的图，至多只能有四个奇顶点；凡是能三笔画的图，至多只能有六个奇顶点。现在，图中有八个奇顶点，所以它至少需要四笔才能画成。这是很明显的。

看来起，一笔画和多笔画问题，有点与哈密尔顿路线相近，可又有不同。它们都是图论的研究内容。