费尔马定理

费尔马定理：费尔马是一个十分活跃的业余数学家，喜欢和别人通信讨论数学问题。他差不多和同时代的数学家都通过信，受到人们的敬重。费尔马经常提出一些难题，寄给熟人，请他们解答，然后再把这些解答与自己的解答对照。他提出的猜想，有被否定掉的；但是他证明过的定理，却从没有被推翻过。其中，不少成了后来书上的重要定理。费尔马在数论上作过杰出贡献。例如，他发现并证明了一个很重要的基本定理： 

若P 为素数，正整数a 不能被P 整除，那么a^P-1-1 这个数，一定能够被P 整除。这个定理叫做费尔马定理或者费尔马小定理。1640 年，当费尔马证完这个定理后，兴奋地写信告诉他的朋友说：“我浸浴在阳光中！这个定理按其在数论和近世代数中的重要性来说，的确是值得称道的。 

比如我们要考察56-1 这个数能不能被7 整除，根据费尔马小定理，由于5⁶-1=5^7-1-1，所以知道它一定能被7 整除。事实也正是这样。 

5⁶-1=15624=7×2232。

因为这个数小，所以可以写出来判断。如果是问1981¹⁰⁰-1 能不能被101整除，就不好算出来看了，但是根据1981¹⁰⁰-1=1981¹⁰¹-1-1，所以可以保险这个数能被101 整除。1621 年，20 岁的费尔马，在巴黎买了一本丢番都的《算术学》的法文译本。不知他在什么时候，在书中关于不定方程x²+y²=z² 的全部正整数解的这一页上，用拉丁文写了这么一段话：

 “任何一个数的立方，不能分解为两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分解成两个数的四次方之和；一般来说，任何次幂，除平方以外，不可能分解成其他两个同次幂之和。我想出了这个断语的绝妙证明，是书上这空白太窄了，不容我把证明写出来。”

 在自己的书上空白处写心得，是一些人的读书习惯，通常叫作“页端笔记”。费尔马的这段页端笔记，用数学的语言来表达就是：形如xⁿ+yⁿ=zⁿ的方程，当n 大于2 时，不可能有正整数解。

 费尔马虽然在数学上有很多重大成就，但是他生前几乎没有出版过什么数学著作。他的著作大都是在他死后，由他的儿子，把他的手搞和与别人往来的书信整理出版的。

 费尔马死后，有人翻阅他的那本丢番都的书，发现了那段写在书眉上的话。1670 年，他的儿子出版了费尔马里的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断，称为费尔马大定理或者费尔马问题。