洪加威的新想法（一）

洪加威的新想法（一）：19 世纪，印度哲学家辨喜说过：“最伟大的东西是世界上最简单的东西，它和你自己存在一样简单。”这句话告诉了人们这样一个道理：不要忽视你身旁那些看来习以为常的小事，因为这里面往往会有宝藏。

《中国科学》1986 年第三期刊登了《能用举例子的办法来证明几何定理吗？》等两篇文章，这是洪加威回国后的又一项重要成果。这篇题材别开生面的论文不仅对计算机证明平面几何定理的研究工作跨进了一大步，而且对多年来数学界的一个传统观念提出了新的看法。要了解这项新工作，还得从有关归纳推理问题讲起。打这样一个比方，假如你第一次吃苹果，发现苹果是甜的，你再吃第二个、，第三个……当你吃了一定数量的苹果之后，你会得出一个结论：“苹果吃起来有甜味”，虽然你并没有吃掉世界上所有的苹果。这种归纳式的推理本是人们常用的，是一种非常合乎逻辑的推理形式。然而，这种从特殊的事例概括出一般性知识的思想方法在数学上却站不住脚。

两千多年前，古希腊数学家欧几里得写了一本划时代的伟大著作《几何原本》。他在书中总结了古希腊的数学成果，用公理法建立起演绎的数学体系。这部书里，欧几里得仅从5 条公理、5 个公设及一些原始定义出发，演绎出几百条命题和定理，从而征服了人类的心灵。这种演绎的推理方法至今仍统治着数学界。

“凡人总要死的，张三是人，因此张三是会死的。”这是一个典型的演绎推理，它的前提和结论之间的联系是必然的。在数学中，从欧几里得以来，只有经过这种把一般性知识应用到特殊场合的推理才能在证明的过程中使用。如果谁在数学里从几个特殊的例子慨括出一般性的结论，那么这种结论只能被称为猜想，不能叫做定理。因为它还尚待严格
证明。像著名的哥德巴赫猜想至今也还未最后被证明出来。

在中学的课堂上，数学老师总是这样告诫学生：“数学是一门最严格的科学，它的每条定理，都是由前面正确的结论经演绎推理而得到的，在数学里，决不允许靠举几个例子来证明问题……”如果哪个学生“胆敢”靠举几个正确的例子来证明一道几何命题，那他一定要“吃”零分，因为这是数学上的大忌。

然而，从学生时代起就喜欢“异想天开”的洪加威对数学里这个司空见惯的观点却发生了疑问。一天，他和著名数学家吴文俊教授一起闲谈，讲到了这样一个平面几何问题：
“我们在纸上随便画一个三角形，再连上它三边上的高，如果画得仔细就会发现三高交于一点。不妨多试几次，但每次的结果都是如此。于是你肯定会认为，这要不是一条定理才怪呢！因为这是一个多么直观又简单的推理过程啊！如果能按一定的方式找出几个特例来证实这个平面几何定理成立，那么不就能借助计算机来证明平面几何问题了吗？”“想法是好，但怎么把这个问题严格化呢？”吴文俊教授问道。是啊！有大胆的设想，还需要有解决问题的手段才行。计算机复杂性理论的研究工作刚告一段落，洪加威立刻又把全部精力投入这一数学的新领域。